52. 27 Найдите первообразную, график которой проходит через точку A: f (x) = 4x + 1/x²;

Решение:

Сначала найдем первообразную функции \( f(x) = 4x + \frac{1}{x^2} \) в общем виде.

\( F(x) = \int (4x + x^{-2}) dx \)

\( F(x) = \int 4x dx + \int x^{-2} dx \)

\( F(x) = 4 \int x dx + \int x^{-2} dx \)

Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\( \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \)

\( \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x} \)

Следовательно, первообразная в общем виде:

\( F(x) = 4(\frac{x^2}{2}) - \frac{1}{x} + C \)

\( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + C \)

Теперь используем условие, что график проходит через точку \( A(-1; 4) \). Это значит, что при \( x = -1 \), \( F(x) = 4 \).

Подставим эти значения в уравнение первообразной:

\( 4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \)

\( 4 = 2(1) - (-1) + C \)

\( 4 = 2 + 1 + C \)

\( 4 = 3 + C \)

\( C = 4 - 3 \)

\( C = 1 \)

Теперь подставим найденное значение \( C \) обратно в уравнение первообразной:

\( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \)

Ответ: Первообразная, график которой проходит через точку A(-1; 4), равна \( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \).