52. Докажите неравенство: а) 6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a; б) (2p − 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p.

а) Раскроем скобки:

\(6a(a+1)=6a^2+6a\);

\((3a+1)(2a+1)+a=6a^2+3a+2a+1+a=6a^2+6a+1\).

Поэтому исходное неравенство равносильно неравенству \(6a^2+6a<6a^2+6a+1\), то есть \(0<1\). Это верное утверждение при любом значении \(a\).

Ответ: неравенство верно при всех \(a\).

б) Раскроем скобки:

\((2p-1)(2p+1)+3(p+1)=4p^2-1+3p+3=4p^2+3p+2\);

\((4p+3)p=4p^2+3p\).

Тогда исходное неравенство равносильно \(4p^2+3p+2>4p^2+3p\), то есть \(2>0\). Это верное утверждение при любом значении \(p\).

Ответ: неравенство верно при всех \(p\).