52. На продолжении стороны AD квадрата ABCD за точку A отметили точку F такую, что луч CF делит угол DCB в отношении 1 : 2. Найдите отрезок CF, если сторона квадрата равна 4 см.

Так как точка F лежит на продолжении AD за A, луч CF проходит внутри угла DCB ближе к лучу CD, чем к лучу CB. Поэтому возможное отношение частей — ∠FCB : ∠DCF = 1 : 2. Если записывать отношение в обратном порядке, условие несовместимо с расположением F.

Угол DCB равен 90°. Пусть ∠FCB = x, тогда ∠DCF = 2x. Получаем x + 2x = 90°, откуда x = 30° и ∠DCF = 60°.

Треугольник DCF прямоугольный: CD перпендикулярна AD, а F лежит на AD. При этом CD = 4 см, а CF — гипотенуза. Поэтому cos 60° = CD / CF, то есть 1/2 = 4 / CF. Отсюда CF = 8 см.

Ответ: 8 см (при отношении ∠FCB : ∠DCF = 1 : 2).