52. На продолжении стороны BC квадрата ABCD за точку C отметили точку K такую, что ∠KAD = 2∠CAK. Найдите отрезок AK, если сторона квадрата равна 4 см.

Пусть \(\angle CAK=x\). Диагональ квадрата делит прямой угол при вершине A пополам, поэтому \(\angle CAD=45^\circ\). Так как K находится на продолжении BC за C, луч AK расположен по другую сторону луча AC от AD, и \(\angle KAD=45^\circ+x\).

По условию \(45^\circ+x=2x\), следовательно, \(x=45^\circ\). Значит, \(\angle KAD=90^\circ\), то есть \(AK\perp AD\). Поскольку \(AD\perp BC\), получаем \(AK\parallel BC\). Удобнее вычислить длину по координатам: зададим \(A=(0,0), B=(4,0), C=(4,4), D=(0,4)\). Точка K лежит на продолжении BC, поэтому \(K=(4,t)\), где \(t>4\).

Луч \(AC\) образует с горизонталью угол \(45^\circ\). Условие \(\angle CAK=45^\circ\) означает, что луч AK образует угол \(90^\circ\) с горизонталью, что невозможно для точки \(K=(4,t)\): угол между AC и AK меньше \(45^\circ\) при конечном \(t>4\). Следовательно, в исходной конфигурации условие противоречиво: луч AK при K на продолжении BC за C не может удовлетворять заданному равенству углов.

Проверка геометрии показывает, что \(\angle KAD=45^\circ+\angle CAK\), а равенство \(\angle KAD=2\angle CAK\) требует \(\angle CAK=45^\circ\). Это соответствовало бы лучу AK, перпендикулярному AB, который не пересекает продолжение BC за C. Поэтому длину AK по указанным данным определить нельзя; вероятно, в условии или расположении точки есть опечатка.