52. Один из углов параллелограмма равен 45°. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 3 см и делит сторону параллелограмма пополам. Найдите эту сторону параллелограмма и углы, которые образует диагональ, соединяющая вершины тупых углов, со сторонами параллелограмма.

Пусть сторона, которую высота делит пополам, равна \(a\), а соседняя сторона — \(b\).

Так как острый угол параллелограмма равен \(45^\circ\), тупой угол равен \(135^\circ\). Высота равна:

\[h=b\sin 45^\circ=\frac{b\sqrt{2}}{2}=3.\]

Отсюда \(b=3\sqrt{2}\) см.

Высота делит сторону пополам, поэтому горизонтальная проекция стороны \(b\) равна половине стороны \(a\):

\[\frac{a}{2}=b\cos 45^\circ=3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3.\]

Следовательно, \(a=6\) см.

Диагональ, соединяющая вершины тупых углов, образует с одной стороной угол \(45^\circ\), а с другой — угол \(90^\circ\).

Ответ: сторона равна 6 см; углы диагонали со сторонами параллелограмма равны \(45^\circ\) и \(90^\circ\).