52. Первый велосипедист выехал из посёлка со скоростью 15 км/ч. Через 0,75 ч после него со скоростью 12 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через 1,25 ч — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста (в км/ч), если сначала он догнал второго, а через 1,5 часа после этого догнал первого.

Решение:

Обозначим скорость третьего велосипедиста как \( v_3 \) км/ч.

1. Догоняние второго велосипедиста третьим:

Время движения первого: \( t_1 \)

Время движения второго: \( t_2 = t_1 - 0,75 \)

Время движения третьего: \( t_3 = t_2 - 1,25 = t_1 - 0,75 - 1,25 = t_1 - 2 \)

Когда третий догнал второго, они прошли одинаковое расстояние:

\( S_3 = S_2 \)

\( v_3 · t_3 = v_2 · t_2 \)

\( v_3 · (t_1 - 2) = 12 · (t_1 - 0,75) \)

\( v_3 · t_1 - 2v_3 = 12t_1 - 9 \) (Уравнение 1)

2. Догоняние первого велосипедиста третьим:

Это произошло через 1,5 часа после того, как третий догнал второго. Значит, третий велосипедист ехал на 1,5 часа дольше, чем первый (поскольку третий догнал второго, а потом первого).

\( t_1 = t_3 - 1,5 \) - НЕВЕРНО. Третий ехал дольше первого.

Время движения первого \( t_1 \). Время движения третьего \( t_3 = t_1 - 2 \).

Когда третий догнал первого, они прошли одинаковое расстояние:

\( S_3 = S_1 \)

\( v_3 · t_3 = v_1 · t_1 \)

\( v_3 · (t_1 - 2) = 15 · t_1 \)

\( v_3 · t_1 - 2v_3 = 15t_1 \) (Уравнение 2)

3. Совмещаем условия:

Из Уравнения 2 выразим \( v_3 · t_1 \):

\( v_3 · t_1 = 15t_1 + 2v_3 \)

Подставим это в Уравнение 1:

\( (15t_1 + 2v_3) - 2v_3 = 12t_1 - 9 \)

\( 15t_1 = 12t_1 - 9 \)

\( 3t_1 = -9 \) — получено отрицательное время. Это означает, что предположение о том, что третий догнал первого после того, как догнал второго, может быть неверным, или ошибка в постановке условия.

Переосмысление условия:

Пусть \( t \) — время движения первого велосипедиста.

Время движения второго: \( t - 0,75 \).

Время движения третьего: \( t - 0,75 - 1,25 = t - 2 \).

1. Третий догнал второго:

\( v_3 · (t - 2) = 12 · (t - 0,75) \)

\( v_3 t - 2v_3 = 12t - 9 \) (Уравнение А)

2. Третий догнал первого:

Это произошло через 1,5 часа после того, как третий догнал второго. Это значит, что к моменту встречи с первым, третий велосипедист проехал на 1,5 часа больше, чем первый.

Время движения третьего до встречи с первым = \( t_3 \) + 1,5 = \( (t - 2) + 1,5 \) = \( t - 0,5 \).

\( v_3 · (t - 0,5) = 15 · t \)

\( v_3 t - 0,5v_3 = 15t \) (Уравнение Б)

3. Решаем систему уравнений А и Б:

Из уравнения Б выразим \( v_3 t \): \( v_3 t = 15t + 0,5v_3 \).

Подставим в уравнение А:

\( (15t + 0,5v_3) - 2v_3 = 12t - 9 \)

\( 15t - 1,5v_3 = 12t - 9 \)

\( 3t = 1,5v_3 - 9 \)

\( t = 0,5v_3 - 3 \)

Подставим \( t \) обратно в уравнение Б:

\( v_3 · (0,5v_3 - 3 - 0,5) = 15 · (0,5v_3 - 3) \)

\( v_3 · (0,5v_3 - 3,5) = 7,5v_3 - 45 \)

\( 0,5v_3^2 - 3,5v_3 = 7,5v_3 - 45 \)

\( 0,5v_3^2 - 11v_3 + 45 = 0 \)

Умножим на 2:

\( v_3^2 - 22v_3 + 90 = 0 \)

Находим дискриминант:

\[ D = (-22)^2 - 4 · 1 · 90 = 484 - 360 = 124 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{124} = \sqrt{4 · 31} = 2\sqrt{31} \approx 11.1355 \)

\( v_3 = \frac{22 \pm 2\sqrt{31}}{2} = 11 \pm \sqrt{31} \)

\( v_3 ≈ 11 \pm 5,567 \)

Два возможных значения для \( v_3 \):

\( v_{3,1} ≈ 16,567 \text{ км/ч} \)

\( v_{3,2} ≈ 5,433 \text{ км/ч} \)

Проверим условие \( t = 0,5v_3 - 3 \). Время \( t \) должно быть положительным, и \( t > 2 \) (так как третий выехал через 2 часа после первого).

Если \( v_3 ≈ 16,567 \): \( t = 0,5 · 16,567 - 3 = 8,2835 - 3 = 5,2835 \). Это больше 2, подходит.

Если \( v_3 ≈ 5,433 \): \( t = 0,5 · 5,433 - 3 = 2,7165 - 3 = -0,2835 \). Время отрицательное, не подходит.

Значит, скорость третьего велосипедиста примерно 16,57 км/ч.

Ответ: 16,57 км/ч.