52. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x² + 3x + 1 в точке x₀ = 1.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \).
Где \( y_0 = f(x_0) \).

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 1 \):
   \( y_0 = f(1) = (1)^2 + 3(1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 \).
2. Найдем производную функции:
   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 1) = 2x + 3 \).
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
   \( f'(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 \).
4. Составим уравнение касательной:
   \( y - 5 = 5(x - 1) \)
   \( y - 5 = 5x - 5 \)
   \( y = 5x - 5 + 5 \)
   \( y = 5x \).

Ответ: y = 5x.