52. Упростите выражение: а) $\left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right):\frac{4m}{10m-5}$; б) $\frac{x+3}{x^2+9}\cdot\left(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 52. Упростите выражение: а) $\left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right):\frac{4m}{10m-5}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Сначала вычтем дроби в скобках:
\[\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}=\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}=\frac{8m}{4m^2-1}.\]
Деление заменим умножением на обратную дробь и разложим знаменатели на множители:
\[\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{10m-5}{4m}=\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{4m}=\frac{10}{2m+1}.\]
Ограничения: $m\ne\frac12,-\frac12,0$.
б) Сложим дроби в скобках:
\[\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}.\]
Умножим и сократим общий множитель $x^2+9$:
\[\frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{x-3}.\]
Ограничения исходного выражения: $x\ne3,-3$.

Ответ: а) $\frac{10}{2m+1}$; б) $\frac{2}{x-3}$.

52. Упростите выражение: а) \(\left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right):\frac{4m}{10m-5}\); б) \(\frac{x+3}{x^2+9}\cdot\left(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}\right)\).