53. Прочитай выражения: (a − b)²; a² − b²; a² − 2ab + b². Найди значения этих выражений, если: а) a = 4, b = 1; б) a = −3, b = 2; в) a = −1, b = −5. Что ты замечаешь? Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений a и b. Объясни полученный вывод, используя графическую модель.

Выражения читаются так: квадрат разности a и b; разность квадратов a и b; квадрат a минус удвоенное произведение a и b плюс квадрат b.

Подставим значения a и b в каждом случае:

1. а) a = 4, b = 1: (4 − 1)² = 9; 4² − 1² = 15; 4² − 2 · 4 · 1 + 1² = 9.
2. б) a = −3, b = 2: (−3 − 2)² = 25; (−3)² − 2² = 5; (−3)² − 2 · (−3) · 2 + 2² = 25.
3. в) a = −1, b = −5: (−1 − (−5))² = 16; (−1)² − (−5)² = −24; (−1)² − 2 · (−1) · (−5) + (−5)² = 16.

Первое и третье выражения имеют одинаковые значения, а выражение a² − b² — другие. Проверим равенство при произвольных значениях, например a = 7, b = 3: (7 − 3)² = 16 и 7² − 2 · 7 · 3 + 3² = 49 − 42 + 9 = 16.

Графическая модель показывает то же равенство для неотрицательных a и b, когда a ≥ b. Квадрат со стороной a разбит на квадрат со стороной a − b, два прямоугольника со сторонами b и a − b и квадрат со стороной b. Поэтому a² = (a − b)² + 2b(a − b) + b². Вычитая площади двух прямоугольников и малого квадрата, получаем (a − b)² = a² − 2b(a − b) − b². Раскрыв скобки, получаем тождество (a − b)² = a² − 2ab + b². Оно справедливо для любых a и b по раскрытию скобок.

Ответ: (a − b)² = a² − 2ab + b²; равенство выполняется при любых a и b.