53. Три отрезка $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ параллельны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 53. Три отрезка $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что…$ Фото задания

53. Три отрезка $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ параллельны.

Accepted Answer

Обозначим общую середину отрезков через $O$. Центральная симметрия с центром $O$ переводит точки $A_1,B_1,C_1$ соответственно в $A_2,B_2,C_2$. Поэтому она переводит плоскость $A_1B_1C_1$ в плоскость $A_2B_2C_2$.

Центральная симметрия переводит плоскость, не проходящую через её центр, в параллельную ей плоскость. Плоскость $A_1B_1C_1$ не проходит через $O$: иначе вместе с точками $A_1,B_1,C_1$ она содержала бы их симметричные точки $A_2,B_2,C_2$, и все три отрезка лежали бы в одной плоскости, вопреки условию.

Следовательно, плоскости $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ параллельны.

53. Три отрезка \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\), не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) параллельны.

Ответ: