№53. Три отрезка A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ параллельны.

Пусть общей серединой отрезков является точка M. Тогда M — середина каждого из отрезков A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂.

Рассмотрим направляющие векторы двух плоскостей:

\(\overrightarrow{A_1B_1}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\) — для плоскости A₁B₁C₁;

\(\overrightarrow{A_2B_2}\) и \(\overrightarrow{A_2C_2}\) — для плоскости A₂B₂C₂.

Так как точка M является серединой отрезков A₁A₂ и B₁B₂, центральная симметрия относительно точки M переводит A₁ в A₂, а B₁ — в B₂. Поэтому

\[\overrightarrow{A_2B_2}=-\overrightarrow{A_1B_1}.\]

Аналогично, из того что M — середина отрезков A₁A₂ и C₁C₂, получаем

\[\overrightarrow{A_2C_2}=-\overrightarrow{A_1C_1}.\]

Следовательно, две пересекающиеся прямые A₂B₂ и A₂C₂ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым A₁B₁ и A₁C₁, лежащим в плоскости A₁B₁C₁.

По признаку параллельности плоскостей

\[\boxed{(A_1B_1C_1)\parallel(A_2B_2C_2)}.\]