53. Упростите: а) \(2 g\alpha- g(\alpha-\pi)+\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\); б) \(\frac{\sin(-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}-\frac{ g\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\ctg\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}\); в) \(\frac{ g(\pi-\beta)\cos(\pi-\beta) g\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) g\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}\); г) \(\frac{ g\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\sin\frac{3\pi}{2}\sin\frac{16\pi}{9}\cos\frac{13\pi}{18}}{\ctg(\pi-\alpha)\cos\frac{5\pi}{18}\sin\frac{11\pi}{9}\cos2\pi}\).

а) Используем периодичность тангенса и формулу приведения:

\( g(\alpha-\pi)= g\alpha\), \(\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\ctg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)= g\alpha\).

Тогда \(2 g\alpha- g\alpha+ g\alpha=2 g\alpha\).

б) Применим формулы приведения:

\(\frac{\sin(-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}=-1\), \( g\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\ctg\alpha\), а \(\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha\).

Получаем \(-1-1+1=-1\).

в) Преобразуем множители:

\( g(\pi-\beta)\cos(\pi-\beta)=(- g\beta)(-\cos\beta)=\sin\beta\), поэтому числитель равен \(\sin\beta\ctg\beta=\cos\beta\).

В знаменателе \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\cos\beta\), \(\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=- g\alpha\), \( g\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\ctg\alpha\). Следовательно, знаменатель равен \(\cos\beta\), и дробь равна \(1\).

г) По формулам приведения:

\( g\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\ctg\alpha\), \(\sin\frac{3\pi}{2}=-1\), \(\sin\frac{16\pi}{9}=-\sin\frac{2\pi}{9}\), \(\cos\frac{13\pi}{18}=-\cos\frac{5\pi}{18}\).

Числитель становится \(\ctg\alpha\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{5\pi}{18}\). Также \(\ctg(\pi-\alpha)=-\ctg\alpha\), \(\sin\frac{11\pi}{9}=-\sin\frac{2\pi}{9}\), \(\cos2\pi=1\), поэтому знаменатель равен тому же выражению.

Ответ: а) \(2 g\alpha\); б) \(-1\); в) \(1\); г) \(1\).