53. Выполните действия: а) $\frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right)$; б) $\left(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}\right):\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 53. Выполните действия: а) $\frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Разложим разность квадратов и приведём дроби в скобках к общему знаменателю:
\[\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}=\frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)}.\]
Числитель равен $12a^2-6$, а знаменатель — $a^2-9$. Тогда
\[\frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\frac{12a^2-6}{a^2-9}=\frac{6(2a^2-1)}{2a^2+1}.\]
Ограничения: $a\ne3,-3$.
б) Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:
\[\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}=\frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{x^2-25y^2}=\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}.\]
Деление на дробь заменим умножением на обратную:
\[\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=10.\]
Ограничения исходного выражения: $x-5y\ne0$, $x+5y\ne0$, и дробь-делитель должна быть определена и отлична от нуля: $x^2+y^2\ne0$.

Ответ: а) $\frac{6(2a^2-1)}{2a^2+1}$; б) $10$.

53. Выполните действия: а) \(\frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right)\); б) \(\left(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}\right):\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}\).