534. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠BAC = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, а ∠D = 60°.

Пусть \(BC \parallel AD\). Так как \(\angle BAC=\angle CAD\), диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(BAD\).

1. Из условия \(AC\perp CD\) и \(\angle D=60^\circ\) получаем \(\angle ACD=30^\circ\). Следовательно, в треугольнике \(ACD\) углы равны \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\), поэтому \(AD=2CD\).
2. Поскольку \(AD\parallel BC\), а \(AC\) — биссектриса угла \(BAD\), аналогично получаем \(AB=BC=CD\).
3. Тогда \(AD=2BC\), а периметр равен \(AD+AB+BC+CD=2BC+3BC=5BC\). Поэтому \(BC=20:5=4\) см.
4. Следовательно, \(AD=2\cdot4=8\) см.

Ответ: 8 см.