535. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Дано: Треугольник ABC, AD - биссектриса, где D лежит на стороне BC.
Необходимо доказать: \(\frac{BD}{DC}\) = \(\frac{AB}{AC}\)

Доказательство:
1. Проведем через точку C прямую, параллельную биссектрисе AD. Продлим сторону BA до пересечения с этой прямой в точке E.
2. Получим, что углы CAD и ACE равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и CE и секущей AC. Аналогично, углы BAD и AEC равны как соответственные при параллельных AD и CE и секущей BE.
3. Так как AD - биссектриса угла BAC, то угол BAD = угол CAD. Следовательно, угол AEC = угол ACE. Значит, треугольник ACE - равнобедренный, и AC = AE.
4. Теперь рассмотрим треугольник BCE. AD параллельна CE, тогда, согласно теореме о пропорциональных отрезках, имеем:\(\frac{BD}{DC}\) = \(\frac{BA}{AE}\).
5. Так как AE = AC, то \(\frac{BD}{DC}\) = \(\frac{BA}{AC}\).
6. Таким образом, мы доказали, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

**Ответ:** Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.