535*. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

В таком виде утверждение неверно: из условия не следует, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

Контрпример: возьмём трапецию с высотой \(h=1\), углами при одном основании \(30^\circ\) и \(60^\circ\), а основаниями длиной \(4\) и \(4-\sqrt3-\frac1{\sqrt3}\). Сумма углов при большем основании равна \(90^\circ\).

Отрезок, соединяющий середины оснований, перпендикулярен основаниям и равен высоте, то есть \(1\). Полуразность оснований равна

\[\frac{4-\left(4-\sqrt3-\frac1{\sqrt3}\right)}2=\frac{\sqrt3+\frac1{\sqrt3}}2=\frac2{\sqrt3}\ne1.\]

Вероятно, в условии допущена опечатка: известна теорема о том, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности её оснований.

Ответ: утверждение в приведённой формулировке неверно.