54. Биссектриса равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике биссектриса является также высотой и медианой. Обозначим сторону треугольника как \( a \). Высота \( h = 13\sqrt{3} \). Половина стороны равна \( \frac{a}{2} \).

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной стороны и стороной:

\( h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 \)

\( (13\sqrt{3})^2 + \frac{a^2}{4} = a^2 \)

\( 169 \cdot 3 = a^2 - \frac{a^2}{4} \)

\( 507 = \frac{3a^2}{4} \)

\( a^2 = \frac{507 \cdot 4}{3} \)

\( a^2 = 169 \cdot 4 \)

\( a = \sqrt{169 \cdot 4} = 13 \cdot 2 = 26 \)

Ответ: 26.