54. Докажите тождества: а) \(\frac{ g(\alpha+\beta)- g\alpha- g\beta}{ g\alpha\, g(\alpha+\beta)}= g\beta\); б) \(\frac{1-\cos2\alpha+\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha+\sin2\alpha}= g\alpha\); в) \(\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}=\ctg\alpha\); г) \(\frac{\sin\alpha-\sin3\alpha}{\cos\alpha-\cos3\alpha}=-\ctg2\alpha\).

а) Обозначим \(x= g\alpha\), \(y= g\beta\), \(T= g(\alpha+\beta)\). По формуле сложения тангенсов \(T=\frac{x+y}{1-xy}\), откуда \(T-x-y=xyT\).

Тогда \(\frac{ g(\alpha+\beta)- g\alpha- g\beta}{ g\alpha\, g(\alpha+\beta)}=\frac{xyT}{xT}=y= g\beta\). Тождество доказано.

б) Используем формулы двойного угла:

\(1-\cos2\alpha+\sin2\alpha=2\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)\).

\(1+\cos2\alpha+\sin2\alpha=2\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=2\cos\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)\).

Делим числитель на знаменатель: получаем \( g\alpha\). Тождество доказано.

в) Применим формулы суммы и разности:

\(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta\),

\(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\).

Их отношение равно \(\frac{2\cos\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\cos\beta}=\ctg\alpha\). Тождество доказано.

г) Применим формулы преобразования разности в произведение:

\(\sin\alpha-\sin3\alpha=2\cos2\alpha\sin(-\alpha)=-2\sin\alpha\cos2\alpha\).

\(\cos\alpha-\cos3\alpha=-2\sin2\alpha\sin(-\alpha)=2\sin2\alpha\sin\alpha\).

Следовательно, \(\frac{\sin\alpha-\sin3\alpha}{\cos\alpha-\cos3\alpha}=-\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=-\ctg2\alpha\). Тождество доказано.