54 « Геометрия. Задачи на готовых чертежах 11 P S R PR = RQ PQ - ? 7 120° Q

Анализ задачи:

Нам дан треугольник PQR, где угол R равен 120 градусов. Также известно, что PR = RQ, что означает, что треугольник PQR является равнобедренным. Сторона PS перпендикулярна стороне PR (угол PSR = 90 градусов), и длина стороны PS равна 7.

Требуется найти: Длину стороны PQ.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник PQR: Так как PR = RQ, то углы при основании PQ равны. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Угол R = 120 градусов. Следовательно, угол RPQ + угол RQP = 180 - 120 = 60 градусов. Так как углы при основании равны, то угол RPQ = угол RQP = 60 / 2 = 30 градусов.
2. Рассмотрим треугольник PSR: Этот треугольник прямоугольный, так как угол PSR = 90 градусов. Угол RPS (он же угол RPQ) равен 30 градусов. Длина катета PS = 7.
3. Находим PR: В прямоугольном треугольнике PSR, катет PS лежит напротив угла RPS. Мы знаем, что sin(угла) = противолежащий катет / гипотенуза. В данном случае, sin(30°) = PS / PR. Так как sin(30°) = 1/2, получаем: 1/2 = 7 / PR. Отсюда PR = 7 * 2 = 14.
4. Находим PQ: Так как PR = RQ, то RQ = 14. Теперь у нас есть две стороны треугольника PQR (PR=14, RQ=14) и угол между ними (угол R=120°). Для нахождения стороны PQ используем теорему косинусов: PQ² = PR² + RQ² - 2 * PR * RQ * cos(R). PQ² = 14² + 14² - 2 * 14 * 14 * cos(120°).
5. Вычисление: cos(120°) = -1/2. PQ² = 196 + 196 - 2 * 196 * (-1/2). PQ² = 392 - (-196). PQ² = 392 + 196. PQ² = 588.
6. Итоговый результат: PQ = √588. Чтобы упростить корень, найдем множители: 588 = 4 * 147 = 4 * 3 * 49 = 4 * 3 * 7². PQ = √(4 * 49 * 3) = √4 * √49 * √3 = 2 * 7 * √3 = 14√3.

Ответ: PQ = 14√3