54. Используя формулы \(S_{\triangle}=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\) и \(S_{\text{пар}}=ab\sin\alpha\), найдите площади треугольников и параллелограмма, изображённых на рисунке 60. а) Треугольник со сторонами \(5\) и \(4\sqrt{2}\), угол между ними \(45^\circ\). б) Треугольник со сторонами \(4\) и \(8\), угол между ними \(150^\circ\). в) Параллелограмм: боковая сторона \(10\), диагональ перпендикулярна боковой стороне, угол между диагональю и верхней стороной \(30^\circ\).

а)

Используем формулу площади треугольника:

\[S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot5\cdot4\sqrt{2}\cdot\sin45^\circ.\]

Так как \(\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:

\[S=10\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=10.\]

б)

\[S=\frac{1}{2}\cdot4\cdot8\cdot\sin150^\circ.\]

Так как \(\sin150^\circ=\frac{1}{2}\), то:

\[S=16\cdot\frac{1}{2}=8.\]

в)

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю и двумя сторонами параллелограмма. Угол между диагональю и верхней стороной равен \(30^\circ\), а боковая сторона длиной \(10\) лежит напротив этого угла.

Найдём длину верхней стороны — гипотенузу:

\[\sin30^\circ=\frac{10}{a},\qquad a=\frac{10}{\sin30^\circ}=20.\]

Угол между сторонами параллелограмма равен \(120^\circ\), поэтому:

\[S=20\cdot10\cdot\sin120^\circ.\]

Так как \(\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:

\[S=200\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}.\]

Ответ: а) \(10\); б) \(8\); в) \(100\sqrt{3}\).