54. На рисунке 107 четырёхугольник ABCD является объединением равнобедренного треугольника ABD и равностороннего треугольника BCD. Внутри треугольников записаны их периметры. Найдите для каждого случая периметр четырёхугольника ABCD: а) периметры треугольников ABD и BCD равны 22 и 30; б) 42 и 48; в) 25 и 15; г) 31 и 45.

Обозначим общую сторону треугольников через BD. У равностороннего треугольника каждая сторона равна одной трети его периметра. У равнобедренного треугольника ABD две равные стороны — боковые стороны четырёхугольника.

1. а) Для ABD: AB + AD + BD = 22. Для BCD: BC + CD + BD = 30, поэтому BC + CD = 20. Тогда периметр ABCD равен AB + BC + CD + DA = 22 − BD + 20. Так как BD = 30 ÷ 3 = 10, получаем 22 − 10 + 20 = 32.
2. б) BD = 48 ÷ 3 = 16. Периметр ABCD равен 42 − 16 + (48 − 16) = 58.
3. в) BD = 15 ÷ 3 = 5. Периметр ABCD равен 25 − 5 + (15 − 5) = 30.
4. г) BD = 45 ÷ 3 = 15. Периметр ABCD равен 31 − 15 + (45 − 15) = 46.

Ответ: а) 32; б) 58; в) 30; г) 46.