54. Найдите, при каких значениях \(x\) расстояние между точками \(A(x)\) и \(B(8)\): а) меньше 4; б) больше 3; в) не меньше 1; г) не больше 5.

Расстояние между точками равно модулю разности их координат: \(AB=|x-8|\).

1. а) \(|x-8|<4\), значит \(-4
2. б) \(|x-8|>3\): точка находится дальше 3 единиц от 8, поэтому \(x<5\) или \(x>11\).
3. в) \(|x-8|\ge 1\): точка находится не ближе 1 единицы от 8, поэтому \(x\le 7\) или \(x\ge 9\).
4. г) \(|x-8|\le 5\), значит \(-5\le x-8\le 5\). Прибавляем 8: \(3\le x\le 13\).

Ответ: а) \(411\); в) \(x\le7\) или \(x\ge9\); г) \(3\le x\le13\).