54. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

Краткая запись:

• Равнобедренная трапеция
• Основания: a = 8, b = 18
• Периметр (P): 56
• Найти: Площадь (S) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим длину боковой стороны (c).
2. Периметр равнобедренной трапеции P = a + b + 2c.
3. 56 = 8 + 18 + 2c.
4. 56 = 26 + 2c.
5. 2c = 56 - 26.
6. 2c = 30.
7. c = 15.
8. Шаг 2: Находим высоту трапеции (h).
9. Опустим высоту из концов меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника.
10. Катет каждого прямоугольного треугольника (проекция боковой стороны на большее основание) равен:
11. x = (b - a) / 2 = (18 - 8) / 2 = 10 / 2 = 5.
12. Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Гипотенуза равна боковой стороне (c = 15), один катет равен x = 5, а второй катет — это высота трапеции (h).
13. По теореме Пифагора: c² = x² + h².
14. 15² = 5² + h².
15. 225 = 25 + h².
16. h² = 225 - 25.
17. h² = 200.
18. h = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}.
19. Шаг 3: Находим площадь трапеции.
20. Площадь трапеции S = (a + b) / 2 * h.
21. S = (8 + 18) / 2 * 10\sqrt{2}.
22. S = 26 / 2 * 10\sqrt{2}.
23. S = 13 * 10\sqrt{2}.
24. S = 130\sqrt{2}.

Ответ: 130\sqrt{2}