541. Вырежите из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур.

Возьмём два одинаковых прямоугольных треугольника с катетами 3 и 4 условных единицы и гипотенузой 5. Площадь каждого равна \(\frac{3\cdot4}{2}=6\), поэтому площадь двух треугольников — 12 квадратных единиц.

а) Равнобедренный треугольник. Совместим треугольники катетом длины 4. Их гипотенузы станут равными боковыми сторонами, а катеты длины 3 образуют основание. Получится равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 6.

б) Прямоугольник. Соединим треугольники катетом длины 4, расположив их по разные стороны от него. Внешний контур будет прямоугольником со сторонами 6 и 4.

в) Параллелограмм, отличный от прямоугольника. Для этого возьмём два равных прямоугольных равнобедренных треугольника: их катеты одинаковы. Сложим их по гипотенузе, расположив прямые углы по разные стороны от общей гипотенузы. Получится квадрат, поэтому этот способ не подходит для требуемого параллелограмма; вместо него сдвинем один из двух прямоугольных треугольников относительно другого, сохранив соединение по равной стороне, так чтобы внешний контур был наклонным параллелограммом. В таком построении стороны параллелограмма должны попарно быть параллельны.

Однако из двух равных прямоугольных треугольников нельзя составить неквадратный параллелограмм без разрезания или наложения: диагональ любого параллелограмма делит его на два равных треугольника, а если оба треугольника прямоугольные, соответствующие углы параллелограмма прямые. Значит, такой параллелограмм обязательно будет прямоугольником. В условии, вероятно, имеется в виду возможность иного расположения частей; при буквальном требовании это невозможно.

Сравнение площадей: площади фигур, составленных без наложения из тех же двух треугольников, равны сумме площадей частей — 12 квадратных единиц. Но пункт (в) при указанных условиях невыполним: два равных прямоугольных треугольника могут образовать параллелограмм только прямоугольный.