544. На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны AE и DE пересекают отрезок BC в точках M и N, причём точка M — середина отрезка AE. Докажите, что S_{ABCD} = S_{ADE}.

Обозначим расстояние между параллельными прямыми AD и BC через h. Оно равно ширине прямоугольника, то есть AB = h.

Поскольку M лежит на BC, расстояние от M до AD равно h. Точки A, M и E лежат на одной прямой, а M — середина AE. Так как A лежит на AD, расстояние от A до AD равно нулю; значит, расстояние от E до AD вдвое больше расстояния от M до AD и равно 2h.

Площадь треугольника ADE, взяв AD за основание, равна \(S_{ADE}=\frac12\cdot AD\cdot 2h=AD\cdot h\). Площадь прямоугольника равна \(S_{ABCD}=AD\cdot AB=AD\cdot h\).

Следовательно, \(S_{ABCD}=S_{ADE}\). Точка N для доказательства не требуется.