55. ABCD — прямоугольник, AD = 10, AO — ?

Решение:

ABCD — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Центр O — точка пересечения диагоналей.

Значит, \(AO = BO = CO = DO\).

Диагональ \(AC = BD\).

В прямоугольнике \(ABCD\) \(AD = 10\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются под углом 120°.

Рассмотрим треугольник \(AOD\). \(\angle AOD = 120^{\circ}\). Так как \(AO = DO\), треугольник \(AOD\) — равнобедренный.

\(\angle OAD = \angle ODA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\) (угол \(\angle D = 90^{\circ}\)).

В прямоугольном треугольнике \(ABD\):

\[ \sin(\angle ADB) = \frac{AB}{BD} \]

\[ \cos(\angle ADB) = \frac{AD}{BD} \]

В нашем случае \(\angle ADB = \angle ODA = 30^{\circ}\).

Поэтому:

\[ \cos(30^{\circ}) = \frac{AD}{BD} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{BD} \]

\[ BD = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \]

Так как \(AO = \frac{1}{2} BD\), то:

\[ AO = \frac{1}{2} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \]

Ответ: \(AO = \frac{10\sqrt{3}}{3}\).