55) Доказать, что $(\vec a-\vec b)(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a+2\vec b-\vec c)=3\vec a\vec b\vec c$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 55) Доказать, что $(\vec a-\vec b)(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a+2\vec b-\vec c)=3\vec a\vec b\vec c$.$ Фото задания

55) Доказать, что $(\vec a-\vec b)(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a+2\vec b-\vec c)=3\vec a\vec b\vec c$.

Accepted Answer

Используем линейность смешанного произведения по каждому аргументу и то, что оно равно нулю, если среди аргументов есть два одинаковых или пропорциональных вектора.

Раскроем произведение по первому аргументу:

$(\vec a-\vec b)(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a+2\vec b-\vec c)=\vec a(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a+2\vec b-\vec c)-\vec b(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a+2\vec b-\vec c)$.

В первом смешанном произведении ненулевой вклад даёт только слагаемое $(-\vec c)$ во втором аргументе и $2\vec b$ в третьем:

$\vec a(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a+2\vec b-\vec c)=-2\vec a\vec c\vec b=2\vec a\vec b\vec c$.

Во втором произведении ненулевой вклад даёт только $(-\vec c)$ во втором аргументе и $\vec a$ в третьем:

$-\vec b(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a+2\vec b-\vec c)=\vec b\vec c\vec a=\vec a\vec b\vec c$.

Здесь использованы циклическая перестановка аргументов без изменения знака и перестановка двух аргументов с изменением знака. Складывая вклады, получаем $2\vec a\vec b\vec c+\vec a\vec b\vec c=3\vec a\vec b\vec c$.

Ответ: $(\vec a-\vec b)(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a+2\vec b-\vec c)=3\vec a\vec b\vec c$.

55) Доказать, что \((\vec a-\vec b)(\vec a-\vec b-\vec c)(\vec a+2\vec b-\vec c)=3\vec a\vec b\vec c\).

Ответ: