55. Докажите, что если прямая a пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости α.

Пусть плоскость β параллельна плоскости α. Через точку B плоскости β проведём прямую b, параллельную прямой a.

Так как a пересекает α, она не параллельна плоскости α. Поскольку β параллельна α, прямая a не параллельна и плоскости β. Следовательно, a пересекает β.

Действительно, a и b параллельны, поэтому имеют одно и то же направление. Прямая b лежит в β, а значит, её направление параллельно β. Если бы a не пересекала β, то она была бы параллельна β, что противоречит тому, что a пересекает α и плоскости α и β параллельны.

Что исправлено в приведённом решении: фраза «прямая b пересекает плоскость β (а не лежит в ней)» неверна, поскольку по построению b лежит в β. Достаточно заключить, что a не параллельна β, а потому пересекает β.