55. Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть ABCD — четырёхугольник, а E, F, G и H — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

1. В треугольнике ABC отрезок EF соединяет середины сторон AB и BC, поэтому EF ∥ AC.
2. В треугольнике ADC отрезок HG соединяет середины сторон AD и DC, поэтому HG ∥ AC. Следовательно, EF ∥ HG.
3. В треугольнике BCD отрезок FG соединяет середины сторон BC и CD, поэтому FG ∥ BD.
4. В треугольнике BAD отрезок EH соединяет середины сторон BA и AD, поэтому EH ∥ BD. Следовательно, FG ∥ EH.

У четырёхугольника EFGH обе пары противоположных сторон параллельны, значит, EFGH — параллелограмм.