55. Используя геометрический смысл модуля, решите неравенство: а) $|x-7|<4$; б) $|x+5|>6$; в) $|1-x|\le23$; г) $|32-x|\ge1$; д) $|x+17|<-2$; е) $|17-x|>-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 55. Используя геометрический смысл модуля, решите неравенство: а) $|x-7|<4$; б) $|x+5|>6$; в) $|1-x|\le23$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

Модуль выражает расстояние, поэтому он неотрицателен. Для сравнения расстояния с положительным числом используем границы на числовой прямой.

а) $|x-7|<4$: расстояние от $x$ до 7 меньше 4, значит \(7-4
б) $|x+5|=|x-(-5)|>6$: расстояние от $x$ до −5 больше 6. Значит, $x<-11$ или $x>1$.
в) $|1-x|=|x-1|\le23$: расстояние от $x$ до 1 не больше 23. Значит, $-22\le x\ne24$ — поправка: границы равны $1-23=-22$ и $1+23=24$, поэтому $-22\le x\le24$.
г) $|32-x|=|x-32|\ge1$: расстояние от $x$ до 32 не меньше 1. Значит, $x\le31$ или $x\ge33$.
д) Модуль неотрицателен, поэтому он не может быть меньше −2. Решений нет.
е) Модуль неотрицателен, а значит всегда больше −1. Решение — любое действительное число.

Ответ: а) $31$; в) $-22\le x\le24$; г) $x\le31$ или $x\ge33$; д) решений нет; е) $x\in\mathbb{R}$.

55. Используя геометрический смысл модуля, решите неравенство: а) \(|x-7|<4\); б) \(|x+5|>6\); в) \(|1-x|\le23\); г) \(|32-x|\ge1\); д) \(|x+17|<-2\); е) \(|17-x|>-1\).