Ответ:

1. Я пришёл в библиотеку, чтобы взять книгу и журнал. Я пришёл в библиотеку, и библиотекарь помог мне найти нужную книгу.

В первом предложении одна грамматическая основа: я пришёл. Однородные обстоятельства цели соединены союзом и, поэтому запятая между ними не ставится. Во втором предложении две грамматические основы: я пришёл, библиотекарь помог. Части сложного предложения разделены запятой.

2. Тучка набежала, закрыла солнце и пролилась дождём. Тучка набежала, и на землю пролился дождь.

В первом предложении одна грамматическая основа: тучка набежала, закрыла, пролилась. Сказуемые являются однородными и соединены одиночным союзом и, поэтому запятая перед ним не ставится. Во втором предложении две грамматические основы: тучка набежала, дождь пролился; между частями сложного предложения ставится запятая.

3. Пёс Полкан громко залаял, подбежал к воротам и стал царапать дверь. Пёс Полкан залаял, и хозяин вышел во двор.

В первом предложении одна грамматическая основа: пёс Полкан залаял, подбежал, стал царапать. Это однородные сказуемые, соединённые одиночным союзом и. Во втором предложении две грамматические основы: пёс залаял, хозяин вышел, поэтому перед союзом и ставится запятая.