Ответ:
1. Я пришёл в библиотеку, взял нужную книгу и сел читать.
2. Тучка набежала, и начался сильный дождь.
В первом предложении одна грамматическая основа: я пришёл, взял и сел. Запятыми разделены однородные сказуемые, соединённые одиночным союзом и; перед одиночным союзом запятая не ставится.
Во втором предложении две грамматические основы: тучка набежала и дождь начался. Это сложное предложение, поэтому перед союзом и ставится запятая.
Ответ: Я пришёл в библиотеку, взял нужную книгу и сел читать. Тучка набежала, и начался сильный дождь.
