Ответ:

1. Я пришёл в библиотеку, взял нужную книгу и сел читать.

2. Тучка набежала, и начался сильный дождь.

В первом предложении одна грамматическая основа: я пришёл, взял и сел. Запятыми разделены однородные сказуемые, соединённые одиночным союзом и; перед одиночным союзом запятая не ставится.

Во втором предложении две грамматические основы: тучка набежала и дождь начался. Это сложное предложение, поэтому перед союзом и ставится запятая.

Ответ: Я пришёл в библиотеку, взял нужную книгу и сел читать. Тучка набежала, и начался сильный дождь.