55 Прямая а — касательная. Найдите угол х.

Краткое пояснение:

Угол $$x$$ является вписанным углом, который опирается на дугу, соответствующую центральному углу. Касательная $$a$$ образует с хордой угол, равный половине градусной меры дуги, стягиваемой этой хордой. Угол между касательной $$a$$ и хордой, которая отсекает дугу, равен $$36^ ext{o}$$. Следовательно, градусная мера этой дуги равна $$2 imes 36^ ext{o} = 72^ ext{o}$$. Угол $$x$$ является вписанным углом, опирающимся на другую дугу, которая составляет $$360^ ext{o} - 72^ ext{o}$$ или зависит от других углов. Однако, если рассмотреть треугольник, образованный хордами и радиусом, то угол $$x$$ является вписанным. Угол $$64^ ext{o}$$ и $$36^ ext{o}$$ являются вписанными углами, опирающимися на определенные дуги. Дуга, на которую опирается угол $$36^ ext{o}$$, равна $$2 imes 36^ ext{o} = 72^ ext{o}$$. Дуга, на которую опирается угол $$64^ ext{o}$$, равна $$2 imes 64^ ext{o} = 128^ ext{o}$$. Сумма этих дуг равна $$72^ ext{o} + 128^ ext{o} = 200^ ext{o}$$. Угол $$x$$ опирается на оставшуюся дугу, которая равна $$360^ ext{o} - 200^ ext{o} = 160^ ext{o}$$. Тогда $$x = 160^ ext{o} / 2 = 80^ ext{o}$$.

Альтернативно, угол между касательной $$a$$ и хордой, которая образует угол $$36^ ext{o}$$ с другой хордой, может быть равен $$36^ ext{o}$$ или $$64^ ext{o}$$. Если угол между касательной и хордой равен $$36^ ext{o}$$, то соответствующая дуга равна $$72^ ext{o}$$. Если угол между касательной и хордой равен $$64^ ext{o}$$, то дуга равна $$128^ ext{o}$$. Треугольник имеет углы $$64^ ext{o}$$ и $$36^ ext{o}$$, значит третий угол равен $$180^ ext{o} - 64^ ext{o} - 36^ ext{o} = 80^ ext{o}$$. Угол $$x$$ является вписанным углом. Угол, образованный касательной и хордой, равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Если угол $$36^ ext{o}$$ является углом между касательной и хордой, то дуга равна $$72^ ext{o}$$. Угол $$x$$ опирается на дугу, которая составляет $$180^ ext{o} - 72^ ext{o} = 108^ ext{o}$$ (если хорда является диаметром, что не показано) или на дугу, которая вместе с дугой $$72^ ext{o}$$ составляет $$180^ ext{o}$$ (для полукруга). Если $$64^ ext{o}$$ и $$36^ ext{o}$$ — углы вписанного треугольника, то $$x$$ — это вписанный угол. Дуга, на которую опирается угол $$36^ ext{o}$$, равна $$72^ ext{o}$$. Дуга, на которую опирается угол $$64^ ext{o}$$, равна $$128^ ext{o}$$. Угол $$x$$ опирается на дугу $$360^ ext{o} - (72^ ext{o} + 128^ ext{o}) = 160^ ext{o}$$. Тогда $$x = 160^ ext{o} / 2 = 80^ ext{o}$$.

Рассмотрим случай, когда $$36^ ext{o}$$ - это угол между касательной и хордой. Тогда дуга, которую стягивает эта хорда, равна $$2 imes 36^ ext{o} = 72^ ext{o}$$. Угол $$x$$ является вписанным углом, опирающимся на дугу, которая вместе с этой дугой составляет $$180^ ext{o}$$ (если эти дуги образуют полуокружность, что не гарантировано) или на другую дугу. Если $$64^ ext{o}$$ и $$36^ ext{o}$$ — это углы вписанного треугольника, то третий угол $$180^ ext{o} - 64^ ext{o} - 36^ ext{o} = 80^ ext{o}$$. Угол $$x$$ опирается на дугу, которая определяется одним из углов. Если угол $$36^ ext{o}$$ опирается на дугу, то она равна $$72^ ext{o}$$. Если угол $$64^ ext{o}$$ опирается на дугу, то она равна $$128^ ext{o}$$. Угол $$x$$ опирается на дугу, которая является разницей от $$180^ ext{o}$$ или $$360^ ext{o}$$.

Правильный подход: Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Если угол между касательной $$a$$ и хордой равен $$36^ ext{o}$$, то вписанный угол, опирающийся на эту же дугу, равен $$36^ ext{o}$$. Если угол между касательной $$a$$ и другой хордой равен $$64^ ext{o}$$, то вписанный угол, опирающийся на эту же дугу, равен $$64^ ext{o}$$. Однако, $$x$$ не является углом между касательной и хордой. Углы $$64^ ext{o}$$ и $$36^ ext{o}$$ являются вписанными углами. Дуга, на которую опирается угол $$36^ ext{o}$$, равна $$2 imes 36^ ext{o} = 72^ ext{o}$$. Дуга, на которую опирается угол $$64^ ext{o}$$, равна $$2 imes 64^ ext{o} = 128^ ext{o}$$. Сумма этих дуг равна $$72^ ext{o} + 128^ ext{o} = 200^ ext{o}$$. Угол $$x$$ опирается на оставшуюся дугу, которая равна $$360^ ext{o} - 200^ ext{o} = 160^ ext{o}$$. Следовательно, $$x = 160^ ext{o} / 2 = 80^ ext{o}$$.