55. Симметричную монету бросили 4 раза. Орёл при этом может выпасть 1, 2, 3 или 4 раза, а может не выпасть ни разу. Вероятности этих событий даны в таблице 1. Найдите вероятность события, противоположного событию: а) «орёл не выпадет ни разу»; б) «орёл выпадет более одного раза»; в) «решка выпадет менее трёх раз»; г) «орёл выпадет неизвестно сколько раз, но точно не два раза».

Краткое пояснение:

Чтобы найти вероятность противоположного события, нужно вычесть вероятность данного события из 1. Исключение составляет случай, когда событие и противоположное ему события являются единственными возможными.

Пошаговое решение:

а) «орёл не выпадет ни разу»

Вероятность события «орёл не выпадет ни разу» (0 орлов) равна \( P(0) = \frac{1}{16} \).

Вероятность противоположного события («орёл выпадет хотя бы один раз») равна:

\( P(\text{не 0 орлов}) = 1 - P(0) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \).

б) «орёл выпадет более одного раза»

Событие «орёл выпадет более одного раза» означает, что орёл выпадет 2, 3 или 4 раза. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов:

\( P(>1) = P(2) + P(3) + P(4) = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16} \).

Противоположное событие — «орёл выпадет не более одного раза», то есть 0 или 1 раз. Вероятность противоположного события равна:

\( P(\text{не более 1}) = 1 - P(>1) = 1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16} \).

Альтернативно, можно сложить вероятности выпадения 0 и 1 орла:

\( P(0) + P(1) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{5}{16} \).

в) «решка выпадет менее трёх раз»

Если решка выпадет менее трёх раз, это значит, что орёл выпадет 2, 3 или 4 раза (так как всего 4 броска, и число орлов + число решек = 4).

Следовательно, это событие совпадает с событием «орёл выпадет более одного раза», вероятность которого мы уже нашли: \( \frac{11}{16} \).

Противоположное событие — «решка выпадет три или более раз», что эквивалентно «орёл выпадет 0 или 1 раз». Вероятность этого события равна \( \frac{5}{16} \).

г) «орёл выпадет неизвестно сколько раз, но точно не два раза»

Это событие означает, что орёл выпадет 0, 1, 3 или 4 раза. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов:

\( P(\text{не 2 орла}) = P(0) + P(1) + P(3) + P(4) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \).

Противоположное событие — «орёл выпадет ровно два раза». Вероятность этого события равна \( P(2) = \frac{3}{8} \).

Проверка: \( \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \).

Ответ:

а) \( \frac{15}{16} \)

б) \( \frac{5}{16} \)

в) \( \frac{5}{16} \)

г) \( \frac{5}{8} \)