№ 552: 1) Докажите тождество: 1 + tg α tg β = cos(α − β)/(cos α cos β). 2) Докажите тождество: tg α − tg β = sin(α − β)/(cos α cos β).

1) По формуле косинуса разности:

\(\frac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}=\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=1+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\).

Получено требуемое тождество.

2) По формуле синуса разности:

\(\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}=\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta\).

Получено требуемое тождество. В обоих случаях предполагается, что \(\cos\alpha\ne0\) и \(\cos\beta\ne0\).