552. Окружность, вписанная в треугольник АВС (рис. 307), касается его сторон в точках М, К и Е, ВК = 2 см, КС = 4 см, АМ = 8 см. Найдите периметр треугольника АВС.

Решение:

• Дано:

  • \[ \triangle ABC \text{ - треугольник} \]
  • \[ ext{Окружность вписана в } \triangle ABC \text{, касается сторон в точках } M, K, E \text{ (M на AB, K на BC, E на AC)} \]
  • \[ BK = 2 \text{ см} \]
  • \[ KC = 4 \text{ см} \]
  • \[ AM = 8 \text{ см} \]

  Найти: Периметр \( \triangle ABC \)

• Свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности:

  • \[ BM = BK \]
  • \[ CK = CE \]
  • \[ AM = AE \]

• Вычисление длин сторон:

  • \[ BC = BK + KC = 2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 6 \text{ см} \]
  • \[ AB = AM + MB = AM + BK = 8 \text{ см} + 2 \text{ см} = 10 \text{ см} \]
  • \[ AC = AE + EC = AM + KC = 8 \text{ см} + 4 \text{ см} = 12 \text{ см} \]

• Вычисление периметра:

  • \[ P_{ABC} = AB + BC + AC = 10 \text{ см} + 6 \text{ см} + 12 \text{ см} = 28 \text{ см} \]

Ответ: Периметр треугольника АВС равен 28 см.