553. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках М, К и Е, АМ = 13 см, ВК = 3 см, периметр треугольника АВС равен 46 см. Найдите длину стороны АС.

Решение:

• Дано:

  • \[ \triangle ABC \text{ - треугольник} \]
  • \[ ext{Окружность вписана в } \triangle ABC \text{, касается сторон в точках } M, K, E \text{ (M на AB, K на BC, E на AC)} \]
  • \[ AM = 13 \text{ см} \]
  • \[ BK = 3 \text{ см} \]
  • \[ P_{ABC} = 46 \text{ см} \]

  Найти: Длину стороны AC

• Свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности:

  • \[ AM = AE = 13 \text{ см} \]
  • \[ BK = BM = 3 \text{ см} \]
  • \[ CK = CE \text{ (обозначим как } x \text{ см)} \]

• Выражение длин сторон через известные отрезки:

  • \[ AB = AM + MB = 13 \text{ см} + 3 \text{ см} = 16 \text{ см} \]
  • \[ BC = BK + KC = 3 \text{ см} + x \text{ см} \]
  • \[ AC = AE + EC = 13 \text{ см} + x \text{ см} \]

• Использование формулы периметра:

  • \[ P_{ABC} = AB + BC + AC \]
  • \[ 46 = 16 + (3 + x) + (13 + x) \]

• Решение уравнения относительно x:

  • \[ 46 = 16 + 3 + x + 13 + x \]
  • \[ 46 = 32 + 2x \]
  • \[ 2x = 46 - 32 \]
  • \[ 2x = 14 \]
  • \[ x = 7 \text{ см} \]

• Вычисление длины стороны AC:

  • \[ AC = AE + EC = 13 \text{ см} + x \text{ см} = 13 \text{ см} + 7 \text{ см} = 20 \text{ см} \]

Ответ: Длина стороны АС равна 20 см.