56.5. 1) В равнобедренной трапеции диагональ, равная 4 см, составляет с основанием угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции. 2) Докажите, что если трапецию можно разделить двумя прямыми на три равносторонних треугольника, то средняя линия такой трапеции в полтора раза больше меньшего основания.

1) Обозначим основания трапеции через \(a\) и \(b\), где \(a>b\), а высоту — через \(h\). В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция диагонали на основание равна \((a+b)/2\), то есть средней линии \(m\).

Диагональ длиной 4 см образует с основанием угол \(60^\circ\), поэтому её проекция на основание равна \(4\cos 60^\circ=2\) см. Следовательно, \(m=2\) см.

Ответ: 2 см.

2) Пусть основания трапеции равны \(B\) (большее) и \(b\) (меньшее). Две прямые, разделяющие её на три равносторонних треугольника, — это диагонали. Обозначим длину стороны каждого равностороннего треугольника через \(s\).

Треугольники у боковых сторон имеют общее основание, равное меньшему основанию трапеции: \(b=s\). Каждый из них занимает на большем основании отрезок длины \(s\); между этими отрезками лежит основание среднего равностороннего треугольника длины \(s\). Поэтому \(B=3s\).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\(m=\dfrac{B+b}{2}=\dfrac{3s+s}{2}=2s=2b.\)

Значит, средняя линия вдвое, а не в полтора раза больше меньшего основания. При обычном понимании условия утверждение в изображённом тексте неверно; вероятно, в условии допущена опечатка.

Ответ: утверждение не подтверждается: средняя линия вдвое больше меньшего основания.