56. На рисунке к задаче 55 точка O — середина отрезка AB, AT = BP, ∠OAT = ∠OBP. Докажите, что точка O — середина отрезка PT. Заполните доказательство: 1) AO = OB, так как точка O — середина отрезка _____. 2) △AOT = _____, так как AO = _____, AT = _____, ∠OAT = _____. (по двум сторонам _____ и углу между ними). Поэтому OT = _____, т. е. точка O — середина _____.

1. \(AO=OB\), так как точка \(O\) — середина отрезка AB.
2. \(\triangle AOT=\) \(\triangle BOP\), так как \(AO=\) \(OB\), \(AT=\) \(BP\), \(\angle OAT=\) \(\angle OBP\) (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что \(OT=\) \(OP\). Кроме того, точки \(T,O,P\) лежат на одной прямой: равные углы \(\angle OAT\) и \(\angle OBP\), вместе с тем, что лучи \(AO\) и \(BO\) противоположны, дают параллельность прямых \(AT\) и \(BP\); равенство соответствующих треугольников согласуется с расположением точек на рисунке к задаче.

Следовательно, точка \(O\) — середина отрезка \(PT\).