560. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной: а) 180°; б) 90°; в) 60°.

Пусть угол сектора равен \(\alpha\), радиус основания конуса — \(r\), а образующая — \(l\). Длина дуги сектора равна длине окружности основания: \(\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi r\). Поэтому \(\frac{r}{l}=\frac{\alpha}{360^\circ}\).

В осевом сечении получаем равнобедренный треугольник со сторонами-образующими \(l\) и основанием \(2r\). Если его угол при вершине равен \(\theta\), то \(2r=2l\sin(\theta/2)\), следовательно, \(\sin(\theta/2)=r/l\).

а) При \(\alpha=180^\circ\): \(r/l=1/2\), значит \(\theta/2=30^\circ\) и \(\theta=60^\circ\).

б) При \(\alpha=90^\circ\): \(r/l=1/4\), значит \(\theta=2\arcsin(1/4)\approx 28.96^\circ\).

в) При \(\alpha=60^\circ\): \(r/l=1/6\), значит \(\theta=2\arcsin(1/6)\approx 19.19^\circ\).

Ответ: а) \(60^\circ\); б) \(2\arcsin(1/4)\approx 28.96^\circ\); в) \(2\arcsin(1/6)\approx 19.19^\circ\).