57. 1) f(x) = 4 sin 3x + 5 cos 3x − 2 sin x; вычислите f(0); f(π/6); f(π/3). 2) f(x) = sin x + sin 2x + sin 3x; вычислите f(π/6). 3) Вычислите \(\frac{\sin(\alpha+\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cos\beta}\) при \(\alpha=\pi/3\) и \(\beta=\pi/6\).

Подставим значения аргумента:

\(f(0)=4\sin 0+5\cos 0-2\sin 0=5.\)

\(f(\pi/6)=4\sin(\pi/2)+5\cos(\pi/2)-2\sin(\pi/6)=4-1=3.\)

\(f(\pi/3)=4\sin\pi+5\cos\pi-2\sin(\pi/3)=-5-\sqrt3.\)

Ответ: \(f(0)=5\), \(f(\pi/6)=3\), \(f(\pi/3)=-5-\sqrt3\).

Подставим \(x=\pi/6\):

\(f(\pi/6)=\sin(\pi/6)+\sin(\pi/3)+\sin(\pi/2)=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}+1=\frac{3+\sqrt3}{2}.\)

Ответ: \(\frac{3+\sqrt3}{2}\).

Подставим заданные значения. Тогда \(\alpha+\beta=\pi/2\), поэтому числитель равен \(\sin(\pi/2)+\cos(\pi/2)=1\). Знаменатель равен \(\sin(\pi/3)\cos(\pi/6)=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34\).

Следовательно, значение выражения равно \(1:\frac34=\frac43\).

Ответ: \(\frac43\).