57. Основания трапеции равны 8 и 15, одна из боковых сторон равна 5√2, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \(a\) и \(b\) — основания, \(h\) — высота.

Дано: \( a = 8 \), \( b = 15 \), одна боковая сторона \( c = 5\sqrt{2} \), угол между этой стороной и основанием \( \alpha = 135^{\circ} \).

1. Найдем высоту трапеции. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковая сторона \( c = 5\sqrt{2} \). Угол, смежный с данным углом \( 135^{\circ} \), равен \( 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).
2. Высота \( h \) является катетом, противолежащим углу \( 45^{\circ} \).
3. \( h = c \cdot \sin(45^{\circ}) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot \frac{2}{2} = 5 \)
4. Теперь рассчитаем площадь трапеции:
• \( S = \frac{8+15}{2} \cdot 5 = \frac{23}{2} \cdot 5 = \frac{115}{2} = 57.5 \)

Ответ: 57.5.