57. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O (рис. 2), AO = OB, CO = 3 см, OD = 5 см. Найдите отношение площадей треугольников AOC и DOB.

Треугольники \(AOC\) и \(DOB\) имеют равные углы при вершине \(O\): это вертикальные углы. Отношение площадей треугольников, заключающих равные углы, равно отношению произведений прилежащих сторон:

\[\frac{S_{AOC}}{S_{DOB}}=\frac{AO\cdot CO}{DO\cdot OB}.\]

По условию \(AO=OB\), поэтому эти длины сокращаются. Подставляем \(CO=3\) см и \(DO=5\) см:

\[\frac{S_{AOC}}{S_{DOB}}=\frac{3}{5}.\]

Ответ: \(S_{AOC}:S_{DOB}=3:5\).