57. Отрезок BB₁ — медиана треугольника ABC. Выразите векторы \(\overrightarrow{B_1C}\), \(\overrightarrow{BB_1}\), \(\overrightarrow{B_1A}\), \(\overrightarrow{BC}\) через \(\vec{x}=\overrightarrow{AB_1}\) и \(\vec{y}=\overrightarrow{AB}\).

Так как \(BB_1\) — медиана, точка \(B_1\) является серединой отрезка \(AC\). Поэтому \(\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{B_1C}=\vec{x}\).

\(\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}=-\vec{y}+\vec{x}=\vec{x}-\vec{y}.\)

\(\overrightarrow{B_1A}=-\overrightarrow{AB_1}=-\vec{x}.\)

\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C}=-\vec{y}+2\vec{x}=2\vec{x}-\vec{y}.\)

Ответ: \(\overrightarrow{B_1C}=\vec{x},\quad \overrightarrow{BB_1}=\vec{x}-\vec{y},\quad \overrightarrow{B_1A}=-\vec{x},\quad \overrightarrow{BC}=2\vec{x}-\vec{y}.\)