57. Прямая a параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая a либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней.

Пусть плоскости α и β параллельны, а прямая a параллельна плоскости α.

1. Если a не пересекает β, то по определению прямая параллельна плоскости: a ∥ β.
2. Если a пересекает β в точке P, то направление прямой a параллельно плоскости α. Поскольку α ∥ β, это направление параллельно и плоскости β.
3. Прямая, проходящая через точку плоскости β и имеющая направление, параллельное β, целиком лежит в β. Значит, a ⊂ β.

Следовательно, прямая a либо параллельна плоскости β, либо лежит в ней.