57. Решите уравнение, приводимое к неполному квадратному: 1) (5x² + 9)/6 − (4x² − 9)/5 = 3; 2) (y² + 5y + 3)/(y² + y + 2) = 3/2; 3) (2x + 3)/3 = 3/(2x + 3); 4) (x + 2)/(x − 1) − (x − 2)/(x + 1) = 4x²/(x² − 1).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Умножим обе части на 30: \(25x^2+45-24x^2+54=90\). Следовательно, \(x^2+9=0\), то есть \(x^2=-9\). Действительных корней нет.
Знаменатель \(y^2+y+2\) не равен нулю: его дискриминант равен \(1-8=-7<0\). Перемножим крест-накрест: \(2(y^2+5y+3)=3(y^2+y+2)\). После упрощения \(y^2-7y=0\), или \(y(y-7)=0\). Значит, \(y=0\) или \(y=7\).
Ограничение: \(2x+3\ne0\). Умножим на \(3(2x+3)\): \((2x+3)^2=9\). Тогда \(2x+3=3\) или \(2x+3=-3\), откуда \(x=0\) или \(x=-3\). Оба значения допустимы.
Ограничения: \(x\ne1\), \(x\ne-1\). Приведём левую часть к общему знаменателю: \(\frac{(x+2)(x+1)-(x-2)(x-1)}{x^2-1}=\frac{6x}{x^2-1}\). Тогда \(6x=4x^2\), то есть \(2x(2x-3)=0\). Получаем \(x=0\) или \(x=\frac32\); оба корня удовлетворяют ограничениям.

Ответ: 1) действительных корней нет; 2) 0, 7; 3) 0, −3; 4) 0, 3/2.