570. Найдите b и решите уравнение: а) 2x² + bx − 10 = 0, если оно имеет корень 5; б) 3x² + bx + 24 = 0, если оно имеет корень 3; в) (b − 1)x² − (b + 1)x = 72, если оно имеет корень 3; г) (b − 5)x² − (b − 2)x + b = 0, если оно имеет корень 1/2.

Подставим известный корень \(x=5\): \(2\cdot 5^2+5b-10=0\), поэтому \(50+5b-10=0\), \(5b=-40\), \(b=-8\).

Получаем уравнение \(2x^2-8x-10=0\). Делим на 2: \(x^2-4x-5=0\). Разложение на множители: \((x-5)(x+1)=0\).

Ответ: \(b=-8\); корни уравнения: \(x=5\) и \(x=-1\).

Подставим известный корень \(x=3\): \(3\cdot 3^2+3b+24=0\), откуда \(27+3b+24=0\), \(3b=-51\), \(b=-17\).

Уравнение принимает вид \(3x^2-17x+24=0\). Разложим: \((3x-8)(x-3)=0\).

Ответ: \(b=-17\); корни уравнения: \(x=3\) и \(x=\frac{8}{3}\).

Подставим известный корень \(x=3\): \(9(b-1)-3(b+1)=72\). Тогда \(9b-9-3b-3=72\), \(6b=84\), \(b=14\).

Подставим найденное значение: \(13x^2-15x=72\), то есть \(13x^2-15x-72=0\). Разложение: \((x-3)(13x+24)=0\).

Ответ: \(b=14\); корни уравнения: \(x=3\) и \(x=-\frac{24}{13}\).

Подставим известный корень \(x=\frac12\): \((b-5)\cdot\frac14-(b-2)\cdot\frac12+b=0\). Умножим на 4: \(b-5-2b+4+4b=0\), поэтому \(3b-1=0\), \(b=\frac13\).

Подставим найденное значение: \(-\frac{14}{3}x^2+\frac{5}{3}x+\frac13=0\). Умножим на \(-3\): \(14x^2-5x-1=0\). Разложение: \((2x-1)(7x+1)=0\).

Ответ: \(b=\frac13\); корни уравнения: \(x=\frac12\) и \(x=-\frac17\).