575. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3: 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( 3x \) и \( 4x \). По теореме Пифагора:

\[ (3x)^2 + (4x)^2 = 50^2 \]\[ 9x^2 + 16x^2 = 2500 \]\[ 25x^2 = 2500 \]\[ x^2 = 100 \]\[ x = 10 \] мм.

Тогда катеты равны:

\( a = 3x = 3 · 10 = 30 \) мм.

\( b = 4x = 4 · 10 = 40 \) мм.

Площадь треугольника \( S \) можно найти двумя способами:

\[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} · 30 · 40 = 600 \] мм².

Также площадь треугольника равна:

\[ S = \frac{1}{2}ch \]где \( c \) — гипотенуза, \( h \) — высота, проведенная к гипотенузе.

\( 600 = \frac{1}{2} · 50 · h \)

\[ 600 = 25h \]\[ h = \frac{600}{25} = 24 \] мм.

Теперь найдем отрезки, на которые гипотенуза делится высотой. Обозначим их \( p \) и \( q \).

По теореме о проекциях катетов на гипотенузу:

\[ a^2 = cp \]\[ 30^2 = 50p \]\[ 900 = 50p \]\[ p = \frac{900}{50} = 18 \] мм.

\[ b^2 = cq \]\[ 40^2 = 50q \]\[ 1600 = 50q \]\[ q = \frac{1600}{50} = 32 \] мм.

Проверим, что \( p + q = c \): \( 18 + 32 = 50 \) мм. Верно.

Также можно использовать свойство высоты:

\[ h^2 = pq \]\[ 24^2 = 18 · 32 \]\[ 576 = 576 \] Верно.

Ответ: гипотенуза делится высотой на отрезки 18 мм и 32 мм.