578. Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух [текст обрезан]. Докажите, что все гномы были одного роста.

Условие обрезано после слов «двух», поэтому не видно, о каких именно двух гномах идёт речь. Если имеются в виду два соседа каждого гнома по кругу, доказательство такое.

Обозначим рост гномов по кругу через a₁, …, a₇, считая индексы циклически. По условию каждый рост равен полусумме ростов соседей: 2a_i = a_i−1 + a_i+1. Отсюда a_i − a_i−1 = a_i+1 − a_i: разности между соседними ростами одинаковы. При обходе всего круга сумма этих семи разностей равна нулю, поэтому каждая разность равна нулю. Следовательно, все гномы одного роста.

Для подтверждения, что в исходном условии речь именно о соседях, нужен обрезанный фрагмент строки.