578. Вписанная в треугольник АВС окружность касается его сторон в точках К, Р, Т (рис. 231). Докажите, что: 1) AP + CK + BT = AT + BK + CP; 2) BK = 0,5 (AB + BC - AC).

Решение:

1) Доказательство равенства отрезков:

• Так как окружность вписана в треугольник, то отрезки касательных, проведенных из одной вершины, равны.
• $$AP = AT$$
• $$BK = BT$$
• $$CK = CP$$
• Сложим эти равенства:
• $$AP + BK + CK = AT + BT + CP$$
• Переставим члены местами, чтобы получить требуемое равенство:
• $$AP + CK + BT = AT + BK + CP$$

2) Доказательство второго равенства:

• Из первого пункта мы знаем, что:
• $$AP = AT$$, $$BK = BT$$, $$CP = CK$$
• Пусть $$AP = AT = x$$, $$BK = BT = y$$, $$CP = CK = z$$.
• Тогда стороны треугольника равны:
• $$AB = AP + PB = x + y$$ (здесь PB = BK, так как касательные из B)
• $$BC = BT + TC = y + z$$ (здесь TC = CP, так как касательные из C)
• $$AC = AP + PC = x + z$$ (здесь PC = CK, так как касательные из C)
• Теперь подставим эти значения в выражение $$AB + BC - AC$$:
• $$AB + BC - AC = (x + y) + (y + z) - (x + z)$$
• $$AB + BC - AC = x + y + y + z - x - z$$
• $$AB + BC - AC = 2y$$
• Так как $$y = BK$$, то $$AB + BC - AC = 2 ⋅ BK$$.
• Разделив обе части на 2, получим:
• $$BK = 0,5 (AB + BC - AC)$$

Вывод: Оба равенства доказаны.